درس ما: روشی بسیار عالی برای محاسبه سینوس تمام زاویه ها

۱۳۹۱ خرداد ۲۱, یکشنبه

روشی بسیار عالی برای محاسبه سینوس تمام زاویه ها

در این مقاله روشی برای محاسبه ی سینوس زوایای دلخواه ارائه می شود كه به كمك آن می توان سایر نسبت های مثلثاتی را نیز به دست آورد .

سینوس یك زاویه حاده چیست؟در مثلث قائم الزاویه سینوس زاویه حاده برابر است با:نسبت ضلع رو به رو به این زاویه،بر وتر.
یك روش محاسبه برای زاویه های خیلی كوچك این است كه نسبت قوس را به شعاع حساب كنیم...

كه قوس

است.و در آن ...14159/3=

است.و AB=R .

پس :

.

و به همین ترتیب می توان به دست آورد:

حال اگر سینوس 30 درجه را با روش فوق محاسبه كنیم ، عدد 524/0 را به جای 500/0 به دست می آوریم كه خطای حاصل

یعنی قریب 5% خواهد بود و این بیش از اندازه زیاد است. برای این كه بتوانیم مرزی برای روش فوق پیدا كنیم سینوس زاویه 15درجه را با دقت محاسبه می كنیم:

با توجه به شكل 2 داریم:

شكل2

BC را به اندازه ی خودش تا نقطه ی D امتداد می دهیم و سپس D را به A وصل می كنیم. در این صورت دو مثلث مساوی ADC و ABC و زاویه BAD مساوی 30درجه به دست می آید. عمود BE را بر AD فرود می آوریم ؛ مثلث قائم الزاویه BAE بازاویه 30 درجه(زاویه BAE ) به دست می آیدو بنابراین

=BE می شود.
حال AE را از مثلث ABE طبق رابطه ی فیثاغورث به دست می آوریم:

حال در مثلث BED طول BD را محاسبه می كنیم:

اگر به سه رقم اعشار اكتفا كرده باشیم ، این عدد، همان عددی است كه در جدول ها برای 15 Sin ضبط شده است.

حالا اگر مقدار را با روش نسبت قوس بر شعاع محاسبه كنیم به عدد 262 /0 می رسیم:با مقایسه دو عدد 262/0و259/0 می بینیم كه اگر هر دو را تا دو رقم اعشار گرد كنیم به عدد 26/0 می رسیم . خطای حاصل از تبدیل مقدار دقیق تر 259/0 به 26/0 مساوی

،یعنی قریب4/0% است. كه این مقدار خطا برای محاسبه های عادی مانعی ندارد.

برای زاویه های بین 15 درجه و 30 درجه می توانیم از تناسب استفاده كنیم .به این ترتیب استدلال می كنیم كه اختلاف بین 30 Sin و 15 Sin برابر است با :

با اضافه شدن یك درجه به زاویه،سینوس آن به اندازه

این اختلاف، یعنی به اندازه

زیاد می شود. خطای این روش

است كه در محاسبات تقریبی خود از آن صرف نظر می كنیم .

به این ترتیب با اضافه كردن 016/ 0به سینوس 15 درجه به طور متوالی سینوس زاویه های 16، 17درجه و غیره به دست می آید:

به همین ترتیب می توان سینوس زاویه های بین 30 و 45 درجه را محاسبه نمود.

اگر این مقدار را مرتبا" به سینوس 30 درجه اضافه كنیم به دست می آید:

حال به محاسبه ی سینوس زاویه ی حاده ی بزرگ تر از 45 درجه می پردازیم:
برای این منظور می توان از قضیه ی فیثاغورث استفاده كرد.
فرض می كنیم كه بخوا هیم سینوس زاویه 53 درجه را محاسبه كنیم:
باید نسبت

را به دست آوریم.(شكل3 )

شكل3

چون37=B درجه است،پس می توان سینوس آن را به روش قبل محا سبه كرد:

از طرفی داریم :

بنا بر این:

و لذا داریم :

درس ما

۱۳۹۱ خرداد ۲۱, یکشنبه

روشی بسیار عالی برای محاسبه سینوس تمام زاویه ها

هیچ نظری موجود نیست:

ارسال یک نظر